테일러 전개 문제2

앞글에서 얘기했던 테일러 전개 문제를 조금 다르게 써보려 합니다. 한 번 미분한 항까지만 좀더 일반적으로 써봅니다.

\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dX}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\) (식1)

\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dx}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\) (식2)

문제는 f를 한 번 미분할 때 X로 미분하느냐 x로 미분하느냐입니다. 사실 테일러 전개를 하는 대개의 경우 X(x)는 "x + 매우 작은 어떤 수(또는 함수)" 꼴이므로 '매우 작은 어떤 수'가 상수라면 위 두 식의 결과는 같아집니다. 그런데 그렇지 않은 경우가 문제가 되는 거지요. 위 식에서는 ε이 상수인 것처럼 썼는데 x의 함수일 수도 있습니다. 다음과 같은 예를 들어보겠습니다.

\(f(x)=e^x,\ X(x;\epsilon)=x+\epsilon(x)\)

식1을 이용하여 전개한 결과와 식2를 이용하여 전개한 결과(이건 앞글에서 한 방식이죠)가 다릅니다.

\(e^{x+\epsilon(x)}=e^x\left[1+\epsilon(x)+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2+\cdots\right]\)

문제는 테일러 전개를 할 때 이 f를 x로 미분해야 하는지, X로 미분해야 하는지입니다. 앞글에서는 변수가 하나뿐이었으므로 별다른 고민 없이 x로 미분해도 된다고 생각했는데 여기서는 두 개라 헷갈립니다.