프로베니우스 디오판투스 방정식과 동전 바꾸기 문제 (coin exchange problem)
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 3월 11일 (월) 14:01 판
개요
- 선형 디오판투스 방정식의 하나
- \(a_1,\ldots, a_n, b\) 를 양의 정수라 하자. 다음과 같은 부정방정식을 프로베니우스 방정식이라 한다.\[a_1x_1+\ldots +a_nx_n=b\]
- \(x_1\geq 0,\ldots, x_n\geq 0\) 인 정수해를 찾는 문제
- 동전의 종류가 정해져 있을 때, 만들 수 있는 액수에 대한 문제로 이해할 수 있다
동전 바꾸기 문제
동전 두 개일 때의 문제
- \(a,b>0\), \(k\geq 0\) 인 정수라 하자.
- 방정식 \(ax_1+bx_2=k\)의 \(x_1, x_2\geq 0\) 인 해의 개수를 \(N(k)\) 라 하자.
- 생성함수\[\sum _{n=0}^{} N(n) x^n=\frac{1}{\left(1-x^a\right) \left(1-x^b\right)}\]
- 성질\[N(t+ab)=N(t)+1\]\[\sum _{n=0}^{a b-1} N(n) x^n=\frac{1-x^{a b}}{\left(1-x^a\right) \left(1-x^b\right)}-\frac{x^{ab}}{1-x}\]
- Popoviciu 의 정리
\[N(k)=\frac{k}{a b}-\left\{\frac{b^{-1}k}{a}\right\}-\left\{\frac{a^{-1}k}{b}\right\}+1\] 여기서 $\{x\}$는 $x$의 분수부분
- http://www.math.binghamton.edu/sabalka/teaching/09Spring375/Chapter10.pdf
- 프로베니우스 수 (실베스터의 정리)
방정식 \(ax_1+bx_2=k\)가 \(x_1, x_2\geq 0\)인 정수해를 갖지 않는 최대의 \(k\geq 0\) 값(즉, \(N(k)=0\) 이 되는 최대값)은 다음과 같다\[g(a,b)=ab-a-b\]
역사
- d = 2 solved (probably by Sylvester in 1880’s)
- d = 3 solved algorithmically (Herzog 1970, Greenberg 1980, Davison 1994) and in not-quite-explicit form (Denham 2003, Ramirez-Alfonsin 2005)
- d >= 4 computationally feasible (Kannan 1992, Barvinok-Woods 2003),
- otherwise: completely open
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사 연표
메모
- 자연수 r에 대하여, 다음 부정방정식의 \(x_i \geq 0\)인 정수해의 개수\[x_0+x_1+x_2+\cdots+x_n=r\]
- 중복조합의 공식 H(n,r) =C(n+r-1,r)
- http://blog.naver.com/preciousjean?Redirect=Log&logNo=120067436228
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_problem
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- http://math.sfsu.edu/beck/papers/frobprojects.pdf
- http://math.sfsu.edu/beck/papers/frobeasy.slides.pdf