Q-감마함수

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 2일 (금) 08:30 판 (찾아 바꾸기 – “* [http://navercast.naver.com/science/list ” 문자열을 “” 문자열로)
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개요

  • #의 q-analogue

 

 

정의

\(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)

자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\(\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\)

 

 

정의를 이렇게 하는 이유

  • 감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자
    \([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
  • q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다
    \([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\)
    캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,
    \([n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\)
  • 위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다
    \(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
    \(\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
    \(\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \)

 

 

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