헤케 연산자(Hecke operator)

개요

• 모듈라 형식의 공간에 작용하는 연산자
• 헤케 연산자의 고유 벡터가 되는 모듈라 형식의 푸리에 계수는 흥미로운 수론적 성질을 가진다

정의

• $M_n$ : 행렬식이 $n$인 $2\times 2$ 정수 계수 행렬들의 집합
• $f$ : weight $k$인 모듈라 형식
• 자연수 $m$에 대하여, 헤케 연산자 $T_m$을 다음과 같이 정의

$$ T_m f(z) = m^{k-1}\sum_{\left(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\right)\in\Gamma\backslash M_m}(cz+d)^{-k}f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) $$ 또는, $$ T_m f(z) = m^{k-1}\sum_{a,d>0, ad=m}\frac{1}{d^k}\sum_{b \pmod d} f\left(\frac{az+b}{d}\right) $$

• 푸리에 전개가 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a(n) q^n$로 주어지면, $T_m f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} b(n) q^n$이라 할 때, 다음의 관계가 성립

$$ b(n) = \sum_{r>0, r|(m,n)}r^{k-1}a(\frac{mn}{r^2}) $$

성질

• 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(T_{mn}=T_{m}T_{n} \label{ram1}\)
• 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(T_{p^{r + 1}} = T_{p}T_{p^r} - p^{k-1}T_{p^{r - 1}} \label{ram2}\)

관련된 항목들

• 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)