김민형 교수 강연 '수학의 본질 : 數(수)'

수학노트
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개요

  • 김민형 교수 강연
  • 인터파크가 기획한 '2014 K.A.O.S (Knowledge Awake On Stage) 수학의 본질-수' 강연과 같은 내용으로 보임
    • 구조, 수, 셈, 함수, 모양을 주제로 한 연속 강연
  • 2014년 3월 26일 오후 7시, 서울대학교 상산수리과학관 101호
  • 청중은 100명이 조금 넘은 정도로 보이며, 대부분 학부생. 고등학생, 대학원생도 드물게 보임. 강의중간에 교복입은 고등학생들 여러명 입장
  • 프로젝터가 작동하지 않아 예정보다 10분가량 늦게 시작됨
  • 강연자에 대한 별다른 소개없이 바로 시작됨
  • 녹음없이 바로 받아적은 것이므로, 아래 녹취는 실제 발언과는 다소 차이가 있으며 생략된 문장도 있음.


강연녹취

도입

기다리게 해서 죄송합니다. 아까 얘기했듯이 이게 초등학생과 노인을 위해서 준비한건데... 젊은이들한테는 저번에 제가 소수에 대한 대중서를 하나 썼는데, 초등학생들한테 물어보면 초등학생들은 왜 이렇게 쉽냐고 하고 대학생들은 재밌다고 하고 그럽니다.

사진을 몇개 보여드리죠.

수학은 항상 펭귄(?)으로부터 시작하니까. (주 : 뭔 소린지 놓쳤음)

(펭귄, 사과, 포크의 사진을 보여줌)

셋 사이의 공통점이 뭔가요?

(하나라는 대답이 여러 곳에서 나옴)

수에 대한 강연이라고 하니까.. 허허허. 그렇게 얘기하면 재미가 없어지는데...

기대했던 정답은 공통점이 없다는 거였는데요.

(펭귄, 사과, 포크 각 다섯씩 있는 사진을 보여줌)

이제 공통점이 보이죠?

학생은 다섯이라고 그랬죠? 공통점이 뭔지 안다고 했지요? 공통점이 뭔가요?

'개수요'

'개수'가 뭔가요.

'다섯이요'

'다섯'이 뭔가요.

'하나, 둘, 셋, 넷, 다섯'

예. 그럭저럭 괜찮은 답 같습니다.

아무 공통점이 없는 것들도 다섯개 놓고보면 공통점이 생기죠. 그런데 그게 뭐나고 물어보면 대답하기 상당히 어렵거든요. 공부를 많이 하고 난 뒤에도.

쉬운 답은 '수'인데, '수가 뭐냐'하고 물어보면 답하기가 어렵죠. 오래전부터 철학자들이 '수가 무엇인가' 고민을 많이 한것 같아요.

피타고라스

피타고라스는 '모든 게 수다'라고 말을 했어요. 수가 뭔지는 답을 하지 않고.

그런 착안을 했던 이유는 음악에 관심이 많았기 때문이었는데, 역사적으로는 수학과 음악이 밀접하다고 사람들이 생각해 온 것 같아요.

현의 길이를 반으로 줄이면 한 옥타브가 올라가고, 3분의 2로 줄이면 도가 솔로 올라가고.

현의 길이와 음의 높이 사이에 관계를 착안을 했어요.

푸리에 이론하고 비슷하지요. 임의의 함수가 있으면 이들을 삼각함수의 합으로 쓸수있다는 건데요.

피타고라스가 수에 관해 이상한 말들도 많이 했어요.

1은 이성적인 숫자, 2는 첫번째 여자 수, 3은 첫번째 남자수, 4,5,6,

신비적인 생각에 의해서 대응 관계를 만들었어요.

자세히 읽어보지는 않았지만 아리스토텔레스의 <형이상학>을 보면 피타고라스가 이런걸 만든 이유는 '유치하기 때문'이라고 했어요. 플라톤 시대에 오게 되면 수를 그 자체로 생각을 하기 시작했던거거든요. 그런데 피타고라스 때만해도 수를 그 자체로 생각하지 못했던 것 같아요. 뭔가 손으로 만질 수 있고, 일상적인 것과 연결하려고 했던거죠. 그런 의미에서 '유치' 또는 '미숙'해서 그런 관계를 만들었다고 표현한 거지요.

지금의 관점에서 보면 '수가 뭐냐' 안물어보는게 대체로 좋거든요. 이렇게 본질적인 질문은 1년에 한번 이상 안하는게 좋다고 생각하는데요.

본질적인 질문이 중요하긴 한데... '인생의 의미'처럼.

그런데 너무 자주하면 진도가 안나간다는 문제가 있어요. 그러니까 염두에 두고 있다가 어쩌다 한번씩 생각해보는게 좋은것 같아요.

'수가 뭐냐' 그러니까 질문은 하겠지만, 앞으로 1년동안 생각은 하지 마세요.

뉴턴이 힘은 질량과 가속도의 곱이라는 공식을 내놨는데, '힘이 뭐냐'고 하면 답하기가 어려워요. 그래서 현대 과학의 입장에서는 '뭐가 무엇이냐'라고 묻기보다는 '사물 사이의 관계가 무엇이냐'를 묻는것 같아요. 그렇게 함으로써 진전을 할 수가 있는것 같아요.

여러가지 수

사람들이 수를 생각하는 방법에 굉장히 큰 진전이 있었어요.

(100,000,000 보여줌). 1억쯤 해도 아무도 어려운 수라고 생각을 안하잖아요. 옛날에는 이런 정도도 어렵지만 더 큰 수는 상상도 못했던것 같아요. 모래사장의 모래가 더 많으냐, 나무의 나뭇잎이 더 많으냐 이런 질문도 어려워했는데, 그 정도로 큰 수라는 것을 어렵게 느꼈던것 같아요. 근본적인 이유의 하나는 표기법이 없었다는 문제가 있었던것 같아요. 지금은 공부안하는 사람도 1억을 개념적으로나 실질적으로나 어려워하지 않지요.

(0 보여줌) 0이라는게 수냐 아니냐 하는것도 어려운 질문이었는데요. 인도에서 이제 이를 알아냈는데, 수라는걸 양으로 이해했기 때문에 0을 받아들이기 어려웠던 것이죠. 그런데 100,000,000같은 것을 표기하는 문제 때문에 0의 개념도 발전했는데요. 1다음에 오는 자리를 메꾸기 위해서 0이 도입되었다 생각하는 사람도 있는것 같아요.

(1.5 보여줌)1.5라는 수를 봅시다. 얼마 전에 행사가 있었는데 1.5시간을 한다고 하더라구요. 그런걸 보면 일반인들도 1.5가 어려운 것 같지 않지요. 그러니까 많은 발전이 있었던거지요.

(-2보여줌) -2라는 건 요즘에 건물에 가면 -2층이라고 써있는것도 있구요.

($\sqrt{2}, \pi, \sqrt{-1}$를 보여주며) 이러한 것들도 수인데, 알고 있는 것들이죠. 이런걸 보면 여러분들이 인류의 사고가 얼마나 많이 발전했는지 보여주는 증거입니다.

$$333667\times 2997=999999999$$ 이런것은 아리스토텔레스한테는 굉장이 어려웠을 거에요. 저도 이 계산을 틀릴수는 있지만 그건 실수지요. 어떤 사람은 $1728\div 12=144$ 라는걸 아리스토텔레스한테 타임머신을 타고 가서 보통 사람도 할 수 있는거라고 하면 놀라 기절할거라고 해요.

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

이런 계산은 무한개의 계산을 하는거지요.

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =2$$

무한급수의 계산, 이런 것도 이제 아무렇지도 않게 받아들이지요.

$$\int_0^1 x^2\, dx=\frac{1}{3}$$ 이런것은 수를 무한히 잘게 더하는거거든요. 이러한 어려운 것을 아무렇지도 않게 받아들이고 있지요.

화이트헤드는 문명은 중요한 연산을 생각도 하지 않고 할 수 있게 됨으로서 진전한다고 했어요.

Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinking about them.


수란 무엇인가

수가 무엇인지 묻지 않기로 했으니, 여기서 마무리를 해도 될 것 같은데...

그래도 잠시 생각을 해보죠. 앞으로 1년 동안 생각을 안한다고 약속을 하고요.

수가 무엇인가에 대한 여기서의 잠정적인 정답은 '더하기, 빼기, 곱하기, 나누기'같은 것을 할 수 있는 것이라고 하겠습니다.

수의 본질은 수 자체보다는 주어진 사물을 가지고 연산을 할 때 자연스러운 연산을 할 수 있을 때 그것이 수라는 거죠.

연산의 예를 몇 개 보여드릴께요.

본질에 대해서 물어볼 때도 예를 드는 것이 좋지요. 공론을 하기 보다는.

반도체 연산

(반도체 칩 사진 보여줌, NS32000) 반도체가 왜 중요해요? 많이 중요하지만 컴퓨터에 중요하잖아요. 컴퓨터 안에 저런게 잔뜩 들어가 있는데, 그 안에 메모리 셀들이 많이 배열되어 있어요. 셀 하나마다 상태가 두 개가 가능해요. 전류가 흐르는 상태, 흐르지 않는 상태. 그렇게 두 가지가 있는데, 그것을 조작함으로써 정보를 조작하는거죠. 컴퓨터 속에는 모든 정보가 두 가지 상태를 통해서 저장되는 거지요. 그런데 놀라운 것의 하나는 다음과 같은 연산인데요. ($N=0,C=1$) $$ N+N=N\\ N+C=C \\ C+C=N $$ 곱하기도 있습니다.

$$ N\times N=N\\ N\times C=N\\ C\times C=C $$ 확장하기도 쉬운데요. $$ NN+NN=NN\\ CN+CC=NC\\ CC+CC=NN $$

반도체 덧셈이 보통 덧셈보다도 쉽지요. 반도체 곱셈은 좀더 어려워요. $$ CN\times CN=CC\\ CC\times CN=NC\\ CC\times CC=CN $$ 이런 것은 규칙이 잘 안 보이는데요. 왜 저렇게 곱하면 좋을까요 물을 수 있겠지요. 자리수끼리 곱해도 될 건데. 곱셈표를 만들면 다음과 같은데요.

\begin{array}{c|c|c|c|c} \times & NN & CN & NC & CC \\ \hline NN & NN & NN & NN & NN \\ \hline CN & NN & CC & CN & NC \\ \hline NC & NN & CN & NC & CC \\ \hline CC & NN & NC & CC & CN \end{array}


세 개일 때의 곱셈표는 다음과 같아요. \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \times & NNN & CCN & CNN & CCC & NNC & CNC & NCC & NCN \\ \hline NNN & NNN & NNN & NNN & NNN & NNN & NNN & NNN & NNN \\ \hline CCN & NNN & NCN & CNC & CNN & CCN & NCC & NNC & CCC \\ \hline CNN & NNN & CNC & CCN & NNC & CNN & NCN & CCC & NCC \\ \hline CCC & NNN & CNN & NNC & NCC & CCC & CCN & NCN & CNC \\ \hline NNC & NNN & CCN & CNN & CCC & NNC & CNC & NCC & NCN \\ \hline CNC & NNN & NCC & NCN & CCN & CNC & CCC & CNN & NNC \\ \hline NCC & NNN & NNC & CCC & NCN & NCC & CNN & CNC & CCN \\ \hline NCN & NNN & CCC & NCC & CNC & NCN & NNC & CCN & CNN \end{array}


아래 문제를 보죠. $$ CCN\times CCC=? $$

$$ CCN\div CCC=? $$

곱셈을 이렇게 하는 이유는 나눗셈이 가능하다는건데요. 자리수끼리 곱하는 연산으로는 나눗셈이 안 돼요.

근본적으로 정보를 효율적으로 저장하고 전송하고 재현하는데, 곱셈이 사용돼요. $$ CCN^1=CCN\\ CCN^2=NCN\\ CCN^3=CCC\\ CCN^4=CNN\\ CCN^5=CNC \\ CCN^6=NCC\\ CCN^7=NNC $$ 재미있는 것은 NNN만 제외하고는 오른쪽에 모든 수가 다 나타나잖아요. 한 원소의 거듭제곱으로 0을 제외하고 모든 것이 다 나타난다는 성질이 정보의 저장에 굉장히 유용하다는 건데요.

이것을 유한체라고 하며, $\mathbb{F}_8$라고 씁니다.


타원곱셈연산

이제 다른 연산을 보여드릴께요. 타원곱셈연산이라고 하는건데요. $$ y^2=x^3-2x+4 $$ (매스매티카 화면 띄우고, 계수를 바꾸면서 그림을 바꿈)

이것은 이 곡선 상의 점들을 더하는 방법이에요. 점 $P$와 $Q$가 있으면 $P+Q$를 얻을 수가 있어요. 저 곡선 상의 점을 연산하는 방법인데, 이 그림을 보고 연산의 규칙을 알아낼 수 있겠어요? (한 학생이 옳게 대답함)

두 점을 지나는 직선을 긋고 그게 곡선과 만나는 점을 $x$-축에 반사를 하면 $P+Q$를 얻을 수가 있어요.

이게 타원곡선의 연산이에요. 좌표하고도 상관없이 굉장히 기하학적인 연산이지요.

그런데 수론에서 사용을 할 때는, 좌표를 사용하는데요. 중요한 성질이 두 개가 있는데요. $$(P+Q)+R=P+(Q+R)$$ 결합법칙이라고 하는건데, 증명이 쉽지는 않아요. 그림으로 봐서는 쉽지가 않고요.

수론에서 중요한 성질은 $P$와 $Q$가 모두 유리수점이면 $P+Q$도 유리수점이라는 사실이에요. 간단한 예를 보자면, $y^2=x^3-2$인데요. 유리수점들이 있지요? $$ 5^2=3^3-2 $$ 이제 이 점 $P=(3,5)$을 가지고 자기 자신과 더하기를 하면은 $$ P+P=(\frac{129}{100},\frac{-383}{1000}) $$ 아 아까 자기자신하고 더하는건 얘기를 안했죠? 그 때는 접선을 그으면 돼요.

이 점이 타원곡선 위에 있다는 사실은 때려맞춰서는 어렵겠지요? 연산을 해서 얻어야 좋지요.


위상수학에서의 연산

다음에 보여줄 연산은 곡면을 가지고 하는 건데요. 위상수학을 들은 학생들은 알 수 있을 거에요. 곡면 두 개가 있을 때 그 둘을 더하는 건데요. 두 곡면에서 원반을 떼어내서 둘을 붙이는 건데요. $$ A\# B $$ 이걸 connected sum이라고 합니다.

(칠판에 그림)

토러스 두 개를 더해서 구멍이 두 개인 곡면을 얻을 수 있구요. 위상수학에서 중요한 결과 중의 하나는 2차원 곡면 중에서 경계면이 없고, 안과 밖을 구별 할 수 있는 경우는 모두 이런 방식으로 만들 수 있다는 겁니다. 이제 이해를 했는지 한번 확인을 해보지요.

구멍 두개인 곡면에 구를 더하면 어떻게 될까요? 바뀌질 않지요. 구멍을 뚫어서 구면을 붙이면 자기 자신을 얻게 됩니다.

그러니까 위상학적으로 얻는 연산에 항등원이 있다 이런 얘기가 되겠구요

입자의 연산

이제 다음 이야기는 입자를 가지고 하는건데요. (그림 보여줌) 이거 아는 사람?

(파인만 다이어그램이요) 물리학과 학생인가 보네요. 무슨 과예요? (물리학과요)

그럼 이게 어떤 과정을 나타내는 건지 아세요? 전자와 양전자가 부딪혀서 광자를 내보내는 겁니다. (주: '양전자' 대신 '양자'라고 했지만 오해의 소지가 있으므로 수정하였음)

입자들 사이에 일어나는 과정을 나타내는 건데, 사실은 이게 연산이거든요.

이런 종류의 파이만 다이어그램을 굉장히 많이 사용하는데, 한번 구글에서 이걸 찾아보지요. (구글 image 검색후 보여줌) 이런걸 보면 이것이 복잡한 과정으로 확장이 되는데요. 지금 보여준 그림이 가장 기초적인 거라고 할 수 있습니다.

전자 ⊙ 양전자 = 광자

이게 곱셈인데요. 왜 곱셈이라고 하는지 아세요? 덧셈인거 같기도 하잖아요. 왜 그러느냐? 한번 설명을 해보지요. 근본적인 이유는 덧셈은 따로 있기 때문에 그렇거든요. (학생들 웃음)

덧셈은 따로 있는데, 이런걸 보고 이중슬릿 실험이라고 물리학에서 하는데요.

(이중슬릿 그림 보여줌)

이건 입자 두 개를 갖고 연산을 하는 것이 아니라, 입자 하나가 주어졌을 때, 이것은 입자의 상태를 가지고 연산을 하는거에요. 상태라는 것은 내가 있어도 손을 들고 있을수도 있고 내릴수도 있고 하잖아요. 전자의 경우도 가능한 상태들이 많이 있는데, 그 사이에 연산이 가능하다는 거에요. 전자의 두 상태를 $e_1, e_2$라 쓰면, 여기서 얻는 새로운 상태 $$e_1 \Delta e_2$$ 라고 이걸 쓰면, 물리학자들이 중첩원리라고 부르는데, 저 연산이 무얼하는지 구체적으로 실험이 가능하다는 거지요. 두 개를 연산해서 새로운 상태를 만들어 내는 것이 가능하다고 할 수 있어요. 어려운 말을 사용하면 가능한 입자 상태들이 벡터공간의 구조를 가진다는 것이 중첩원리에요. 꼭 입자에만 적용되는 것은 아니에요. 사실 여기 있는 학생 이름이 뭐죠? 조*신이요. 김민형 더하기 조*신이라는 연산도 가능하다는 주장이에요. 그러니까 굉장히 황당한 말인데. 아무튼 이것은 덧셈이에요.

그러면 아까 파인만 다이어그램을 다시 그리면 이건 전자 $e$ 와 양전자 $p$에서 광자 $\phi$를 얻는 것을 다시 생각해 볼께요. 전자의 상태까지도 고려를 해볼께요. $$ p\odot e_1=\phi_1 $$ 그러면 이제 전자의 상태를 바꿔서 다시 연산을 해볼께요. $$ p\odot e_2=\phi_2 $$ 그러면 이제 실험적인 사실을 보면 $$ p\odot (e_1\Delta e_2)=\phi_1\Delta\phi_2 $$ 가 성립한다는 거에요.

이렇게 본다면 $$ p\odot (e_1\Delta e_2)=\phi_1\Delta\phi_2= (p\odot e_1)\Delta (p\odot e_2) $$ 가 성립한다는 건데, 이렇게 보면 왜 $\odot$를 곱셈으로 볼 수 있는지 알 수 있지요.

다시 수란 무엇인가

자 그러면 수가 뭔가요?

지금까지 보여준 것을 보면, 수라는 것이 것이 꼭 숫자 자체가 중요한게 아니라는 거지요. 연산이라는 거에요. 그러니까 이제 답이 뭔것 같아요? 저 예들을 참조해서 다시 대답을 해 보면 뭔것 같아요?

모든게 다 수지요? 그러니까 결국 다시 피타고라스의 원리로 돌아가게 되지요.

그러니까 이게 유치하다고도 했는데, 사실은 유치한 사람들이 맞을 때가 많은 것 같아요.

입자의 연산도 보여줬는데, 모든게 입자잖아요?

그러니까 피타고라스가 의미하는게 현을 자연스럽게 나눈 것이 주파수가 대응되고, 거기서 수와 대응된다는 주장을 한건데요.

현대 물리학에서 보면 그 이야기를 똑같이 하고 있거든요. 양자장론이라는 것을 보면, 더 구체적이기고 복잡하기는 하지만. 사실은 피타고라스가 굉장히 선견지명이 있었던 것이지요. 현대에선 그게 더 강하게 나타나고 있구요.


덧셈과 곱셈

(프로젝터 끄고 일종의 토론이 시작됨)

요번에 책을 하나 쓰고 보니까, 덧셈과 곱셈에 대해서 더 생각을 하게 됐는데요. 곱셈과 덧셈의 차이를 배분법칙을 가지고 얘기했잖아요.

이건 유치한 생각인데, 초등학생도 있고 하니까 한번 질문을 해볼께요.

여기 직선을 하나 그릴께요. 요 직선 상의 두 점을 더할줄 아세요? 누가 더해볼 사람? (손든 학생 있음) 예. 한번 나와서 더해보세요. 나는 앉아서 구경할께요.

(학생들 나왔다 들어갔다... 이런저런 얘기가 진행)

원점을 잡으면 되지요. 그러면 원점에 연산이 의존하게 되지만, 덧셈이 정의가 됩니다. 하나 재밌는 것은 두 점의 중점을 보면 덧셈이 들어가긴 하지요 원점이 없이도. 대신에 2로 나누는 문제가 있지만.

아까 말했듯이 0을 받아들이는 것이 굉장히 오래걸렸거든요. 이렇게 생각해보면 0의 존재가 덧셈에 필수적이라는 거지요. 철학적인 것이긴 한데.

평면에서도 마찬가지죠. 평면에서도 원점만 하나 있으면, 임의의 두 점을 더할 수가 있어요.

그러면 곱셈은 어떨까요?

(한참 논의후, 한 학생이 1을 고정한 뒤, 삼각형의 닮음을 이용해 곱셈을 정의함)

예. 제가 생각한것보다는 훨씬 고상한 방법이긴 한데, 어쨌든 1을 정하고 나면 곱셈이 되지요. 그런데 1을 준다는건 모든 자연수를 주는 것과 같고, 이것은 모든 유리수를 주는 것과 마찬가지거든요. 그러니까 곱셈을 정의하려면 덧셈보다 훨씬 수가 많이 필요해져요.

덧셈과 곱셈은 많이 차이가 있다는 거죠.

그러면 이제 하나만 더 이야기를 하고 끝낼께요. 아까 곡면 두개를 더했는데요. 토러스와 구멍 두개인 곡면은 구멍 세개를 갖는 곡면을 갖지요. 그러면 곱셈은 뭔가요? 저도 이번 강의를 준비하기 전까지 한번도 생각해보지 않은건데요. 물론 차원이 높아진 것을 얻는 곱셈은 알려져 있습니다. 그런데 여기서는 곡면을 얻는 방법을 원하는 겁니다. 물론 구멍의 숫자를 대응시켜서 연산을 정의할 수도 있겠지만, 그건 별로 재미 없어보이잖아요? 그러면 곱셈을 정의할 수 있을까? 뺄셈은 정의할 수 있을까? 재미있는 문제 같아요. 한번 생각을 해보시고, 밤늦게까지 고생하셨습니다. (8시 30분. 강연 종료)


관련도서

  • 김민형. 2013. 소수 공상. 반니.


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