격자의 세타함수

정의

• 격자 \(L\subseteq \mathbb{R}^n\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함

\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\] 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.

예

1차원 격자 $\mathbb{Z}$

• 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수

$$ \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} $$

• 이는 자코비 세타함수이며, 다음의 변환 성질을 만족한다

$$ \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) $$

세타함수의 모듈라 성질

정리

유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 격자 $L$과 쌍대 $L^{*}$에 대하여 다음이 성립한다 : $$ \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) $$

증명

포아송의 덧셈 공식으로부터 얻어진다. ■

메모

• http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
• Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
• http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf
• http://zacharyabel.com/papers/Theta-Series-Mod_A07.pdf

관련된 항목들

• 자코비 세타함수
• 리치 격자(Leech lattice)
• 모듈라 형식(modular forms)