대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서

개요

• 벡터공간 $V$에 대하여 대칭곱 $\operatorname{Sym}^n V$를 정의할 수 있다
• $V$에 작용하는 선형변환 $A$에 대하여 $\operatorname{Sym}^n A$를 정의할 수 있다

행렬의 대칭곱

• $V$에 작용하는 선형변환 $A$를 생각하자

$\dim V=2$인 경우

Block[{columnheading, row, rowheading, maintable, F},

 columnheading = {"\!\(\*SuperscriptBox[\(Sym\), \(n\)]\)A"};
 row = Table[x, {x, 0, 3}];
 rowheading = Prepend[row, ""];
 F = {SymPower[2, #][a]} &;
 maintable = Table[F[n], {n, row}];
 Grid[MapThread[
   Prepend, {Prepend[maintable, columnheading], rowheading}], 
  Frame -> All]
 ] // TraditionalForm

관련된 항목들

• 중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)
• 외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)
• 행렬의 크로네커 곱 (Kronecker product)

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_algebra#Distinction_with_symmetric_tensors
• http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_tensor

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/symmwedgebasis.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWFFsckNSY2VhV28/edit