로저스-세괴 다항식 (Rogers-Szegő polynomials)

개요

• 직교다항식의 하나
• $0\leq k\leq n$인 정수 $k,n$에 대하여, Q-이항계수 (가우스 다항식)

$$ \begin{bmatrix} n\\ k\end{bmatrix}_{q}:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}} $$

• 로저스-세괴 다항식 $H_m(z;q),\, m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$는 다음과 같이 정의된다

\begin{equation}\label{RS} H_m(z;q):=\sum_{k=0}^m z^k \begin{bmatrix} m\\ k\end{bmatrix}_{q} \end{equation}

성질

• 다음과 같은 3항 점화식을 만족

$$ H_{m+1}(z;q)=(1+z)H_m(z;q)-(1-q^m) z H_{m-1}(z;q) $$ 이 때, $H_{-1}=0$, $H_0=1$

• 단위원에서 정의된 다음 무게에 의한 측도에 대하여, 직교성을 가진다

\[ w(z;q)=|(zq^{1/2};q)_{\infty}|^2 \qquad (0<q<1). \]