원분다항식(cyclotomic polynomial)

개요

원분체 (cyclotomic field) 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
방정식과 근의 공식 연구의 중요한 실험장

정의

$\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)$
- 여기서 $\omega$는 primitive n-th root of unity (단위근)
차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 $\varphi(n)$ 로 표현됨
$x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)$

원분다항식의 상호법칙

소수 $p$ 에 대해 $\Phi_n(x) \pmod p$ 가 어떻게 분해되는가의 문제

정리

$p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$의 order가 $r$이라 하자. 즉 $r$이 $p^r=1\pmod n$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 $\Phi_n(x) \pmod p$의 분해는, $p\pmod n$에 의해 결정된다.

증명은 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 참조

따름정리

$n | p-1$ $\iff$ $\Phi_n(x) \pmod p$는 일차식들로 분해된다

원분다항식 목록

$\begin{array}{l|l|l} n & \varphi (n) & \Phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & 1-x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}$

$n=105$일 때, 0또는 $\pm 1$외의 계수가 등장한다

$$ \begin{align*} \Phi_{105}(x)&= 1 + x + x^{2} - x^{5} - x^{6} - 2 x^{7} \\ & \quad -x^{8} - x^{9} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15} \\ & \quad +x^{16} + x^{17} - x^{20} - x^{22} - x^{24} - x^{26} \\ & \quad -x^{28} + x^{31} + x^{32} + x^{33} + x^{34} + x^{35} \\ & \quad +x^{36} - x^{39} - x^{40} - 2 x^{41} - x^{42} - x^{43} \end{align*} $$

원분다항식(cyclotomic polynomial)

목차

개요

정의

원분다항식의 상호법칙

원분다항식 목록

역사

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