콕세터 프리즈

개요

$r$ : 자연수
$I=\{1\,\cdots, r\}$
복소수 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자

\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}

아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}$가 결정되면, 나머지 $T_{m}(u)$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다

점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 $ad-bc=1$를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다

예

$r=2$

5항 관계식 (5-term relation)

$r=3$

$r=4$

$r=6$

성질

주기성

각 $m\in I$에 대하여, $T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)$이 성립한다

정수 수열

모든 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다

$$ T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right) $$

(정리) 콕세터-콘웨이

모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다 [H] 정리 4 참조

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbjhtOHUwbTB1S2s/edit?usp=drivesdk

리뷰, 에세이, 강의노트

Morier-Genoud, Sophie. ‘Coxeter’s Frieze Patterns at the Crossroads of Algebra, Geometry and Combinatorics’. arXiv:1503.05049 Null, 17 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05049.

콕세터 프리즈

목차

개요

예

$r=2$

$r=3$

$r=4$

$r=6$

성질

주기성

정수 수열

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

관련도서

리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

둘러보기 메뉴

검색