Lectures on dilogarithm function
overview
- volumes of hyperbolic 3-manifolds
- special values of Dedekind zeta functions
introdcution
- definition of dilogarithm function
- analytic continuation
- Bloch-Wigner dilogarithm function
- functional equations
- hyperbolic volumes
- values of the Dedekind zeta function at s=2
- 다이로그 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨\[\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
- 다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \] for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)
Rogers dilogarithm
- \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의
\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]
- \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
- \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)
Borel's regulator
- Let $F$ be a number field with $[F:\mathbb{Q}]=r_1+2r_2$
- Borel constructed a map
$$ K_{2i-1}(F) \to \mathbb{R}^{d_{i}} $$ where $d_i = r_2$ or $r_1+r_2$ depending on the parity of $i$
- this can be used to show
- $\operatorname{rank} K_3 =r_2$
- $\operatorname{rank} K_5=r_1+r_2$
- $\operatorname{rank} K_7=r_2$
- let $\mathcal{O}_{F}$ be the ring of integers of $F$
- for any field L of characteristic zero, $K_{i}(\mathcal{O}_{F})\otimes_{\Z}L$ is naturally isomorphic to $K_{i}(F)\otimes_{\Z}L$ for $i>1$
- http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1354171
- https://books.google.nl/books?id=ru7BywKC1d4C&pg=PA475&lpg=PA475&dq=Values+of+zeta-functions+at+integers,+cohomology+and+polylogarithms&source=bl&ots=BznObLSgR-&sig=X9LeM98z4cxje_axpCZjeUaY66U&hl=en&sa=X&ei=5rCMU-bqNMLwPInpgLgH&redir_esc=y#v=onepage&q=Values%20of%20zeta-functions%20at%20integers%2C%20cohomology%20and%20polylogarithms&f=false
Bloch-Wigner dilogarithm
- Let us define a variant of the dilogarithm function : the Bloch-Wigner dilogarithm function. It is given by
$$D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z).$$
- It is a real analytic function on $\mathbb{C}$ except at 0 and 1, where it is continuous but not differentiable.
- Since $D(\bar{z})=-D(z)$, it vanishes on $\mathbb{R}$.
- It satisfies the following functional equations :
\begin{equation}\label{functid1} D(x)+D(1-xy)+D(y)+D(\frac{1-y}{1-xy})+D(\frac{1-x}{1-xy})=0, \end{equation} \begin{equation}\label{functid2} D(x)+D(1-x) =D(x)+D(\frac{1}{x})=0. \end{equation}
regulator in algebraic K-theory
- The Bloch-Wigner dilogarithm $D(z)$ can be used to define a map from $\mathcal{B}(\mathbb{C})$ to $\mathbb{R}$.
- For $\xi=\sum_{i} n_i[x_i] \in \mathcal{B}(\mathbb{C})$, let $D(\xi)=\sum_{i} n_i D(x_i)$.
- By (\ref{functid1}) and (\ref{functid2}), it is well-defined.
- Let $F$ be a number field of degree $r_1+2r_2$ over $\mathbb{Q}$ where $r_1$ denotes the number of real embeddings and $r_2$ the number of complex non-real embeddings up to conjugation.
- For an embedding $\sigma : F\hookrightarrow \mathbb{C}$ and $\xi \in \mathcal{B}(F)$, we may consider $D\left(\sigma(\xi)\right)$.
- If $D\left(\sigma(\xi)\right)=0$ for all such embeddings $\sigma$, then $\xi \in \mathcal{B}(F)$ is a torsion element in $\mathcal{B}(F)$.
Zagier, Bloch, Suslin
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)일 때,
\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 $\mathbb{Q}$-basis D는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수이며, \(a\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함
background
- 다른게 아니라 저랑 강원대 강순이 박사님이랑 최근에 Zagier 교수님 쓰신 dilogarithm 논문에 관심이 생겼는데 quantum dilogarithm을 포함해서 자기에 교수님 논문 내용을 강연해줄 수 있는지 부탁드리고자 편지드려요.
- Bloc 그룹도 강의해줄 수 있으면 더 좋지만, 아니면 남 추측 관련해서 공부했던 내용이라도 강의해주면 많은 도움이 될 것 같아요.
- 자기에 교수님 dilogarithm 논문을 읽는데, 부끄럽지만 무슨 말인지 전혀 모르겠더라고요.
- q가 나오는 부분과 점근식 부분은 그래도 알겠는데, 나머지 부분들은 능력 밖이라 도움 받을 수 있나해서 여쭤본 겁니다.
- 그러니까 Bloc 그룹도 이 논문에 나오는 정도 이해할 수 있으면 저는 만족이에요.
- quantum dilogarithm 쪽으로 무언가 더 해볼 여지가 있는지 궁금해서 우선 자기에 교수님 논문부터 시작해보려고 했었는데, 시작부터 어렵네요