콕세터 프리즈

개요

• \(r\) : 자연수
• \(I=\{1\,\cdots, r\}\)
• 복소수 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자

\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}

• 아래의 그림은 \(r=5\)인 경우에 해당하며, \(\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}\)가 결정되면, 나머지 \(T_{m}(u)\)는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다

• 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 \(ad-bc=1\)를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다

예

\(r=2\)

• 5항 관계식 (5-term relation)

\(r=3\)

\(r=4\)

\(r=6\)

성질

주기성

• 각 \(m\in I\)에 대하여, \(T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)\)이 성립한다

정수 수열

• 모든 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다

\[ T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right) \]

(정리) 콕세터-콘웨이

모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다 [H] 정리 4 참조

관련된 항목들

• 정다각형의 삼각형 분할
• 패리 수열(Farey series)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbjhtOHUwbTB1S2s/edit?usp=drivesdk

관련도서

• Coxeter, H. S. M. 1991. Regular Complex Polytopes. Cambridge [England]; New York: Cambridge University Press. http://www.amazon.com/Regular-Complex-Polytopes-H-Coxeter/dp/0521394902
  • Chapter 5

리뷰, 에세이, 강의노트

• Morier-Genoud, Sophie. ‘Coxeter’s Frieze Patterns at the Crossroads of Algebra, Geometry and Combinatorics’. arXiv:1503.05049 Null, 17 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05049.

관련논문

• Karin Baur, Klemens Fellner, Mark James Parsons, Manuela Tschabold, Growth behaviour of periodic tame friezes, http://arxiv.org/abs/1603.02127v1
• [H]Henry, Claire-Soizic. 2013. “Coxeter Friezes and Triangulations of Polygons.” American Mathematical Monthly 120 (6): 553–558. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.06.553.
• Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
• Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
• Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992