공간벡터

개요

Euclid공간 \(\mathbb{E}^3\)는 세 실수 \(a_ 1, a_ 2, a_ 3\)로 된 순서쌍 \(\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)\) 들의 집합을 의미하며, 이 순서쌍 \(\mathbf{a}\)를 \(\mathbb{E}^3\)의 점 (point) 또는 벡터(vector)라 한다.
점 (0, 0, 0)에 대응되는 벡터를 영벡터(zero vector)라고 부르고 0으로 나타낸다.

\(\mathbb{E}^3\)의 두 벡터 \(\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)\), \(\mathbf{b}=(b_ 1, b_ 2, b_ 3)\)에 대하여 이들의 합(sum)은 \(\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_ 1+b_ 1, a_ 2+b_ 2, a_ 3+b_ 3)\)이고 다음 성질을 만족한다.
- \(\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}\) (교환법칙)
- \((\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})\) (결합법칙)
- \(\mathbb{E}^3\)의 모든 \(\mathbf{a}\)에 대하여, \(\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}\)(영벡터의 존재)
- \(\mathbb{E}^3\)의 벡터 \(\mathbf{a}\)에 대하여, \(\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}\)(역벡터의 존재)
\(k\in\mathbb{R}^3\)와 \(\mathbb{E}^3\)의 벡터 \(\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)\)에서 \(\mathbf{a}\)의 \(k\)배(k multiple)는 \(k\mathbf{a}\)는 \(k\mathbf{a}=(ka_ 1, ka_ 2, ka_ 3)\)이고 다음 성질을 만족한다.
- \(k_ 1(k_ 2a)=(k_ 1k_ 2)a\) (결합법칙)
- \((k_ 1+k_ 2)a=k_ 1a+k_ 2a\) (분배법칙)
- \(k(a+b)=ka+kb\) (분배법칙)
- \(1a=a\)