샌드위치 정리

예

월리스 곱 (Wallis product formula)의 증명과정에 나오는 수열

다음과 같이 수열을 정의하자 \[a_n:=\int_0^{\pi}\sin^{n}\theta{d\theta}\] \(a_n\)은 다음 점화식을 만족시킨다 \[a_0=\pi\] \[a_1=2\] \[a_{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-2} \label{rec}\]

다음과 같은 극한을 계산하는 문제 \[\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1 \label{lim}\]

\(a_{n}\)은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다 \[1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}\] 우변에서는 \ref{rec}이 사용되었다. 따라서 샌드위치 정리에 의해 \[\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1\]$