교대다항식(alternating polynomial)

이 항목의 수학노트 원문주소

• 교대다항식(alternating polynomial)

 

 

개요

• 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
• 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

 

 

예

• \(\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)
• \(x_1x_2x_3\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)

 

 

분할과 행렬식

• 반데몬드 행렬
  \(\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\)
  
• 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다
  \(\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)\)
  
• 일반적으로 parts가 3인 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0\)에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다
  \(\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\)
  
• 일반적으로 분할  \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\)  에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

 

 

인수분해에의 응용

• \(f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)\)
• 교대식이므로, \(V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)\) 를 인수로 갖는다
• \(f/V\) 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여  \(f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c\) 꼴로 쓰여진다
• \(A=-1,B=2,C=-1\) 이다

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• http://www.math.jussieu.fr/~romagny/notes/FTAF.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_polynomial
• http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=