두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수

문제는 바로 다음과 같다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률은?

두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 \(\frac{1}{p^2}\)가 된다.

따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,

그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?

이를 활용하면,

그래서 답이 나왔다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은

이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?

 

 

 

 

두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 \(\frac{1}{p^2}\)가 된다.

따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,

\(/prod_{p /text{:prime}}1-/frac{1}{p^2}=/prod_{p /text{:prime}}1-p^{-2}\)

그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?

\(/zeta(s) =/prod_{p /text{:prime}} /frac{1}{1-p^{-s}}\)

이를 활용하면,

\(/prod_{p /text{:prime}}1-/frac{1}{p^2}=/frac{1}{/zeta(2)}\)

그래서 답이 나왔다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은

\(/frac{6}{/pi^2}/approx 0.6079271/cdots\)

이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?