라그랑지의 네 제곱수 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 11월 5일 (목) 06:26 판
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간단한 소개

 

  • 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능

 

 

 

자코비 세타함수를 이용한 증명
  • 자코비 세타함수
    [[자코비 세타함수|]]\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  • \(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
    \(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\)
    \(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
    여기서 \(r_4(n)\) 는 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수

 

 

 

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