란덴변환(Landen's transformation)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 3월 28일 (토) 12:20 판
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간단한 소개
  •  타원적분
    \(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
  • 만족시키는 다음 변환 공식을 란덴 변환이라 함.

\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)

  • hypergeometric 급수와 타원 적분
    \(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
  • 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
    \(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)

 

 

 

란덴변환과 AGM

 

 

 

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