가우스의 보조정리(Gauss's lemma)

수학노트
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개요

  • 이차잉여의 이론에서 중요한 역할
  • 홀수인 소수 p에 대하여, \(a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)
    \(\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\) 이 성립한다
    여기서 n은 \(a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) 의 값을 \(\{1,2,\cdots,p-1\}\) 에서 고려할때, p/2보다 큰 경우의 수

 

 

최대정수함수를 이용한 표현

  • 홀수인 소수 p에 대하여, \((a,2p)=1\) 일 때,
    \(\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\) 이고, 여기서 \(n=\sum_{j=1}^{(p-1)/2}[\frac{ja}{p}]\).  [ ]는 최대정수함수 (가우스함수)

 

 

아이젠슈타인

\(\left(\frac{a}{p}\right)=\prod_{n=1}^{(p-1)/2}\frac{\sin{(2\pi an/p)}}{\sin{(2\pi n/p)}}\)

 

 

 

 

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