가우스의 보조정리(Gauss's lemma)

수학노트
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개요

  • 이차잉여의 이론에서 중요한 역할
  • 홀수인 소수 $p$와 \(a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\] 여기서 $n$은 \(a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\) 의 값을 \(\{1,2,\cdots,p-1\}\) 에서 고려할때, $p/2$보다 큰 경우의 수



최대정수함수를 이용한 표현

  • 홀수인 소수 $p$와 \((a,2p)=1\)에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\] 이고, 여기서 \[n=\sum_{j=1}^{(p-1)/2}[\frac{ja}{p}]\] $[\cdot]$는 최대정수함수 (가우스함수)



아이젠슈타인

\[\left(\frac{a}{p}\right)=\prod_{n=1}^{(p-1)/2}\frac{\sin{(2\pi an/p)}}{\sin{(2\pi n/p)}}\]


역사



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