가우스-쿠즈민 분포

수학노트
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개요

  • 실수 $\alpha\in (0,1)$의 단순연분수 전개에서 나타나는 수의 분포에 대한 결과


가우스-쿠즈민 분포

기호

  • 연분수 전개 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots,]$, $a_0=0$, $a_n\in \mathbb{Z}_{>0}$
  • $n\geq 0$에 대하여 $\alpha_n$을 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots, a_{n-1},\alpha_{n}]$를 만족하도록 정의하자. $\alpha_0=\alpha$
  • $\alpha_n$의 분수부분 $x_n(\alpha),\, 0\leq x_n(\alpha)< 1$을 생각하자, 즉

$$x_n(\alpha)=\alpha_n-a_n$$

  • $\mu_n(x)=\ell(\{\alpha:x_n(\alpha)<x\})$ 여기서 $\ell$는 $\mathbb{R}$의 르벡 측도


정리 (가우스,쿠즈민, 레비)

적당한 상수 $C>0,\lambda>0$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ |\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} $$

  • $k\leq \alpha_{n+1}<k+1$이 될 조건은 $\frac{1}{k+1}<x_n(\alpha)\leq \frac{1}{k}$와 동치이다
  • 따라서

$$\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\mu_n(\frac{1}{k})-\mu_n(\frac{1}{k+1})$$

  • 이로부터 다음을 얻는다

$$ \lim_{n\to \infty}\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\log_2\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)\sim \frac{1}{\log 2}\frac{1}{k^2} $$

  • 가령 $n>>0$에 대하여 $a_{n+1}(\alpha)=1$을 만족하는 실수집합의 르벡측도는 $2-\log_2 3=0.415037499\cdots$에 가까워진다


예

  • 원주율에 대한 연분수 전개를 생각하자
  • $\pi-3=[0; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1,\cdots]$
  • $a_1=7,a_2=15,a_3=1,\cdots$라 두자
  • 집합 $S_n=\{k|a_k=n,1\leq k\leq 100000\}$라 두자

$$ \begin{array}{c|c|c} n & |S_n|/100000 & \log_2\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right) \\ \hline 1 & 0.4149 & 0.4150 \\ 2 & 0.1700 & 0.1699 \\ 3 & 0.09236 & 0.09311 \\ 4 & 0.06034 & 0.05889 \\ 5 & 0.04118 & 0.04064 \\ 6 & 0.02930 & 0.02975 \\ 7 & 0.02352 & 0.02272 \\ 8 & 0.01793 & 0.01792 \\ 9 & 0.01452 & 0.01450 \\ 10 & 0.01173 & 0.01197 \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array} $$

메모


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Costa, Robert, Patrick Dynes, and Clayton Petsche. “A P-Adic Perron-Frobenius Theorem.” arXiv:1509.01702 [math], September 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.01702.
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