"거듭제곱의 합을 구하는 공식"의 두 판 사이의 차이

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* 1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
 
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* 베르누이 수를 사용하여 표현가능함
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베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
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<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
 
<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
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좀더 자세히 쓰면
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<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
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여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수,
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베르누이 다항식은 다음과 같이 주어진다.
  
 
 
 
 

2009년 3월 24일 (화) 12:02 판

간단한 소개
  • 1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
  • 베르누이 수를 사용하여 표현가능함

 

 

베르누이 수

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

 

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

 

 

 

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

 

좀더 자세히 쓰면

\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)

여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수,

 

베르누이 다항식은 다음과 같이 주어진다.

 

\(B_0(x)=1\)

\(B_1(x)=x-1/2\)

\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)

\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)

 

\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)

\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\)

 

\(B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\)

 

 

계차수열

\(\Delta B_n(x)=nx^{n-1}\)

 

 

거듭제곱의 합

Calculus of Finite differences 의 정리에 의하면, \(\Delta F=f\) 인 두 수열에 대하여

\(\sum_a^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)

이 성립한다.

 

이를 베르누이 다항식에 적용하면,

 

\(\sum_0^{n-1}k^r=\frac{1}{r+1}(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0))\)

 

 

 

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위키링크

 

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