거듭제곱의 합을 구하는 공식

간단한 소개

• 1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
•  

 

 

베르누이 다항식

\(\Delta F=f\)

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

\(\,\)

\(B_0(x)=1\)

\(B_1(x)=x-1/2\)

\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)

\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)

\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)

\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\)

\(B_0(x)=1\)

 

\[\,\]
\[\,\]
\[,\]
\[\,\]
\[\,\]
\[B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.\,\]

 

 

 

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• Calculus of Finite differences
• 베르누이 다항식
• Umbral calculus

 

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
   
  

 

참고할만한 자료

• Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
  
  • Lee Zia
  • The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

• Euler's formula nth Differences of Powers
  
  • H. W. Gould
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
• Bernoulli's Identity without Calculus
  
  • Kenneth S. Williams
  • Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
• The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses
  
  • Andrew P. Guinand
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
• A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers
  
  • Hans J. H. Tuenter
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261