극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타

개요

\[\lim_{x\to 0} x^2=0\] (증명)

\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)라 두자.

\(0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)이면,

\(|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon\) 이다.

따라서 \(\lim_{x\to 0} x^2=0\)이 성립한다. ■

\[\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\]

(증명)

먼저 몇 개의 부등식을 보자.

\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.

(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)

(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)

(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)

(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.

\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.

위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.

부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.

\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)

그러므로,

\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\]

(증명)

\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 로 두자.

\(|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 이면, \(|\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon\)

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\)이 성립한다. ■

Galina, Sinkevich. ‘On the History of Epsilontics’. arXiv:1502.06942 [math], 22 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.06942.