다이감마 함수(digamma function)

수학노트
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개요[편집]

  • 감마함수의 로그미분으로 정의



정의와 급수표현[편집]

  • 정의:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
  • 급수표현:<math>\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots</math>

(증명)

감마함수의 무한곱표현

<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■


  • <math>z = 0, -1, -2, -3, \cdots</math> 에서 pole을 가진다



함수의 그래프[편집]

  • <math>-3<x<3</math>일 때, <math>\psi(x)</math>의 그래프

다이감마 함수(digamma function)1.gif


도함수와 polygamma 함수[편집]



차분방정식과의 관계[편집]

<math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math>

  • 차분방정식의 기본정리를 적용하면:<math>\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)</math>
  • 조화급수와의 관계:<math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math>
  • 일반화:<math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math>



점근 급수[편집]

$$ \begin{align} \psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\ &=-\frac{1}{12 x^2}+\frac{1}{120 x^4}-\frac{1}{252 x^6}+\frac{1}{240 x^8}-\frac{1}{132 x^{10}}+\cdots \end{align} $$ 또는 $$ \psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} $$ 여기서 <math>B_{n}</math>은 베르누이 수



반사공식[편집]

  • 감마함수의 반사공식:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>
  • 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>

여기서 <math>x</math>를 <math>-x</math>로 두면 다음을 얻는다

<math>\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>



덧셈공식[편집]

  • 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질:<math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math>

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)</math>

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

<math>(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)</math>

미분하면,

<math>m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)</math> ■

  • 이항 덧셈공식:<math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math>



가우스의 Digamma 정리[편집]

<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) </math>

<math>\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) </math>


special values[편집]

<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>

<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)</math>

<math>\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) </math>

<math>\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) </math>

<math>\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)</math>

<math>\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>

<math>\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>


역사[편집]



메모[편집]

관련된 항목들[편집]


매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]



수학용어번역[편집]


사전 형태의 자료[편집]


관련논문[편집]


관련도서[편집]