단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)
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개요
- 대칭다항식의 예
정의
- 변수의 개수 \(n\)과 \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \( m_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
- 분할 \(\lambda\)의 크기가 \(n\)보다 큰 경우, \(m_{\lambda}=0\)
- \(d\)의 (크기가 \(n\)인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
- 다음과 같이 \(n\times n\) 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
- 단항 대칭 다항식은 다음과 같이 정의된다
\[m_{\lambda} = \sum_{\alpha}\mathbb{x}^{\alpha}\] 여기서 합은 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)의 서로 다른 순열 (permutation) \(\alpha=(\alpha_1,\cdots, \alpha_n)\)에 대하여 행하며, \(\mathbb{x}^{\alpha}=x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}\)
예
변수의 개수가 3이고, 2의 분할인 경우
\[ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{2\} & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ \{1,1\} & x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3 \\ \end{array} \]
변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우
\[ \begin{array}{c|c} \lambda & m_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \\ \end{array} \]
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