등비수열
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2020년 12월 28일 (월) 02:42 판
개요
- \(1, 2, 4, 8, 16, \cdots \)와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열
- 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다
등비수열
- 일반항 : 처음 \(a_1 \)항 와 곱해 주는 수 \(r \)이 이루는 등비수열 \[a_n=a_1\times r^{n-1}\]
- 점화식 \[\frac{a_n}{a_{n-1}}=r\]. 이때 \(r\)은 <공비> 라고 부른다.
- 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
- 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.
등비수열의 합
- \(a_n=a \times r^{n-1}\)이라 하자
- 다음이 성립한다
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{a \left(1-r^n\right)}{1-r} \]
역사
메모
- \(s\) : 자연수, \(m\) : 음이 아닌 정수
- \(J=\{(j_1,\cdots,j_s)\in \mathbb{Z}^s|j_1+\cdots+j_s=m, j_i\geq 0\}\).
\[ \sum_{j\in J} \xi_1^{j_1} \cdots \xi_s^{j_s} = \sum_{i=1}^s \frac{\xi_i^m}{\prod_{k=1,(k \ne i)}^s (1-\xi_k/\xi_i)}, \]
관련된 항목들