란덴변환(Landen's transformation)

수학노트
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란덴 변환

버전1

  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]



버전2

  • \(a> b > 0\)에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자

\[I(a,b) : = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta= \frac{1}{a} K(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}) \label{ik}\]

  • 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 \[ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) \label{hom} \]


버전3

  • hypergeometric 급수와 타원 적분

\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)

  • 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.

\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]


란덴변환과 산술 기하 평균

\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]

증명

\ref{hom}의 란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \ref{ik}에서 \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\)로 두면 다음을 얻는다 \[I(1,\sqrt{1-k^2})=K(k)\] 따라서 \[ K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} \] ■


메모


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관련도서


사전 형태의 참고자료


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  • [{'LOWER': 'landen'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'transformation'}]
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