란덴변환(Landen's transformation)
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 3월 28일 (토) 12:20 판
간단한 소개
- 타원적분
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\) - 만족시키는 다음 변환 공식을 란덴 변환이라 함.
\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)
- hypergeometric 급수와 타원 적분
\(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\) - 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)
란덴변환과 AGM
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
- http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
위키링크
참고할만한 자료
- Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608