렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

개요

렘니스케이트 사인과 코사인

렘니스케이트 사인\[x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
렘니스케이트 코사인\[x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
관계식\[s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\]
덧셈공식\[s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\]

렘니스케이트 타원함수

렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
\(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
\(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는\[\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] 의 관계를 만족한다
렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식(파그나노의 공식)

\[\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\]

\(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다\[\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\]

정리

홀수인 가우스 정수 \(m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]\)를 생각하자. 적당한 \(A_i\in \mathbb{Z}[i]\)가 존재하여 다음을 만족한다 \[ \phi(m\alpha)=i^{\epsilon}\phi\frac{\phi^{p-1}+A_1\phi^{p-5}+\cdots+A_{(p-1)/4}}{1+A_1\phi^{4}+\cdots+A_{(p-1)/4}\phi^{p-1}} \label{aa} \] 여기서 \(\epsilon\in \{0,1,2,3\}\)은 \(m-i^{\epsilon}\in (2)\)를 만족, \(\phi=\phi(\alpha)\)이고, \(p=a^2+b^2\).

정리 (아이젠슈타인)

홀수인 가우스 정수 \(m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]\)이 소수일 때, \ref{aa}의 \(A_1,\cdots, A_{(p-1)/4}\)는 \(m\)으로 나누어진다.