리대수 g2의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 14차원 리대수
• \(G_2\) 타입의 단순 리대수

리대수 \(\mathfrak{g}_2\)

• \(G_2\) 카르탄 행렬

\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{array} \right) \]

• \(G_2\) 루트 시스템

\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,3 \alpha _1+\alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _1+\alpha _2,3 \alpha _1+2 \alpha _2\\,-\alpha _1,-\alpha _2,-3 \alpha _1-\alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2,-2 \alpha _1-\alpha _2,-3 \alpha _1-2 \alpha _2\right\} \]

• 바일군, 크기 12인 유한반사군

\[ \{s[],s[1],s[2],s[1,2],s[2,1],s[1,2,1],s[2,1,2],s[1,2,1,2],s[2,1,2,1],s[1,2,1,2,1],s[2,1,2,1,2],s[1,2,1,2,1,2]\} \]

• \(G_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,0)\)
  • \(\alpha_2=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)

• fundamental weights
  • \(\omega_1=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)
  • \(\omega_2=(0,\sqrt{3})\)
• 바일 벡터 \(\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) \]

기약표현의 예

• 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

• \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]\)의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
• 7차원 표현
• 지표

\[ \chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} \]

• weight diagram

예2

• adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_2\)
• 14차원 표현
• 지표

\[ \chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} \]

• weight diagram

예3

• highest weight \(\omega_1+\omega_2\)
• 64차원 표현
• weight diagram

관련된 항목들

• 리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNWhsUEpsTjUzS3M/edit

관련논문

• http://www.ams.org/notices/200808/tx080800922p.pdf
• Baez, John C., and John Huerta. ‘G2 and the Rolling Ball’. arXiv:1205.2447 [math-Ph], 11 May 2012. http://arxiv.org/abs/1205.2447.