맴돌이군과 미분방정식

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개요

미분방정식에 의해 결정되는 맴돌이의 예
정칙특이점이 있는 이계 선형 미분방정식의 해를 해석적으로 확장하는 문제
맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록

로그함수와 맴돌이

오일러 미분방정식

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 \(y(z)\)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

\[z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0\]

이 미분방정식은 원점 즉, \(z=0\)에서 정칙특이점을 가진다.

로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 간단한 경우를 생각해 보자.

\[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\]

미분방정식의 해

이계 선형 미분방정식 이므로 \(z=1\) 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.

두 함수 \(y_1=1\)과 \(y_2=\log z\) (국소적으로 생각하고 있으므로, \(y_2(1)=0\) 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 \(z=1\) 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

\(y_1'=0\)이므로 미분방정식의 해이다. 또, \(y_2'=1/z\), \(y_2''=-1/z^2\)이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 \(z=1\) 근방의 모든 해는 적당한 복소수 \(c_1,c_2\)에 대하여 \(y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2\)의 형태로 쓸 수 있다.

해석적확장과 맴돌이

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 \(1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2\) 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 \(z=0\) 즉, 원점 주위를 \(z=1\)에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(y_1=\log z\)를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수에서 보았듯이 \(2\pi i\)만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \(\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2\) 를 얻게 된다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 \(y_1,y_2\)에 대하여 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] 에 대응된다.

한바퀴 도는 경우가 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 세바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] ... 에 대응된다.

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \[\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\] 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem)에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 \[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\] 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 \(\mathbb{Z}\)가 된다.

복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.

벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system

\(\mathbb{C}^\times\)와 trivial rank 2 bundle \(\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2\)
접속 (connection)

\[ \nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z} = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix} \]

\(f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}\)가 horizontal section이 될 조건은 \(\nabla f = 0\)로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다

\[ f_2''+\frac{f_2'}{z}=0 \]

단순연결된 공간 \(U\subseteq \mathbb{C}^\times\)에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다

\[ \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} \]

이 해공간으로부터 \(\mathbb{C}^\times\)에 정의된 local system 을 얻는다
http://mathoverflow.net/questions/47351/how-to-think-of-monodromy-transformations

타원적분과 맴돌이

미분방정식

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서 가져옴
오일러-가우스 초기하함수를 이용한 표현\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
\(z=k^2\)로 두고, \(w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)\) 라 하자\[K(k)=w(z)=w(k^2)\]\[K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)\]
\(w(z)\)는 다음 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족시킨다\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0\]

선형독립인 해

\(w_1(z)=w(z)\)와 \(w_2=w(1-z)\)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 미분방정식의 특이점을 분석하면, \(w_1(z)\)와 \[w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z\] 는 \(z=0\)에서 해석함수이고,\(w_1(1-z)=w_2(z)\)와 \[w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)\] 는 \(z=1\)에서 해석함수임을 알수있다

미분방정식의 모노드로미

미분방정식의 해의 기저 \(\{w_1,iw_2\}\)에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다

\(z=0\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

\(z=1\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\] 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 \(\Gamma(2)\)가 된다

역사

메모

수학용어번역

monodromy - 대한수학회 수학용어집
bundle - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q4155615

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}]