모듈라 곡선 X0(50)

수학노트
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개요

  • 대수곡선 <math>X_0(50)</math>
  • 종수 2
  • 곡선 위에 정의된 함수
<math>

u=q^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})}{(1-q^{n})(1-q^{50n})} =\frac{1}{q}+1+q+2 q^2+2 q^3+3 q^4 \\ v=q^{-3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})^2}{(1-q^{n})(1-q^{50n})^2} = \frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^2}+1+q^3+q^7 </math>

  • 다음이 성립한다
<math>

v+5u^3/v=u^3-2u^2-2u+1 </math>

  • involution
<math>

u\mapsto -1/u, v\mapsto v/u </math>

타원곡선

  • involution에 의한 불변량
<math>

s=\frac{(1+u) v}{u^2},t=\frac{(1+u)^2}{u} </math>

  • 다음이 성립한다
<math>

s^2-s (t-5) t+5 t=0 </math>

  • 좌표변환 <math>x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2</math>로부터 다음의 타원곡선을 얻는다
<math>

E:y^2=4 x^3+25 x^2+50 x+25 </math>

모듈라 형식

  • 미분형식 <math>\omega_E=-\frac{dx}{y}</math>의 <math>\pi : X_0(50)\to E</math>에 대한 pullback은 다음과 같다
<math>

2\pi i f dz=\pi^{*}\omega_E=(q-q^2+q^3+q^4-q^6+2 q^7-q^8-2 q^9+\cdots)\frac{dq}{q} </math> 여기서 <math>q=e^{2\pi i z}</math>


메모


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