모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

수학노트
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개요[편집]

  • 타원적분의 singular value k
    • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다\[\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \]
  • 타원 모듈라 λ-함수\[\lambda(\tau)=k^2(\tau)\] 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
  • explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다
  • 초등정수론의 합동식 (모듈로 modulo 연산) 와는 다른 것임.



singular moduli와 관련된 함수들[편집]

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)



타원적분과 singular moduli[편집]

  • 일종타원적분 K\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\]\[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\]\[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\]\[\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}\]
  • singular values\[k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\]\[k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\]\[k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]\[k(2i)=3-2\sqrt{2}\]
  • singular moduli\[\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\]



\(s=1\)일때의 singular moduli 모음[편집]


하위페이지[편집]


관련된 항목들[편집]



수학용어번역[편집]



관련도서[편집]



관련논문[편집]



관련링크와 웹페이지[편집]