미분형식과 맥스웰 방정식

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.

개요

  • 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
  • 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다



포벡터 포텐셜 1-form

  • 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
  • \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)



전자기 텐서 2-form

  • 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)\[F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\]
  • 전자기 텐서와 맥스웰 방정식 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음\[F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\]\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]
  • \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다\[F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\]



Hodge star 연산자

  • \(\star dx dy =-dzdt\)
  • \(\star dy dz =-dxdt\)
  • \(\star dz dx =-dydt\)
  • \(\star dx dt =dydz\)
  • \(\star dy dt =dzdx\)
  • \(\star dz dt=dxdy\)
  • 전자기 텐서의 dual\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]\[\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\]



전류 4-vector

  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
    • dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)



맥스웰 방정식의 미분형식 표현

  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다\[dF=0\] (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))\[d{\star F}=\star J\] (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
  • 단위는 \(\mu_0 \varepsilon_0=c=1\) 이 되도록 선택



메모



관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'descriptions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LEMMA': 'field'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=미분형식과_맥스웰_방정식&oldid=52298"