미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

수학노트
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개요

  • 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
  • 3차원 공간에 정의된 스칼라함수와 벡터장을 3차원 공간에 정의된 미분형식으로 이해
  • 미분연산자는 미분형식 사이에 정의되는 사상으로 이해할 수 있다

 

미분연산자

grad

  • 스칼라 함수 $f$에 대하여, \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\)는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다

$$ \nabla f=( f_x, f_y,f_z) $$

  • 벡터장 \(\nabla f=( f_x, f_y,f_z)\) 를 1-형식 \(f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\)로 생각하자
  • \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\) 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

\[d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\]

curl

  • 벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)에 대하여, \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\) 는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다

\[\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}\]

  • $\mathbf{F}$를 1-형식 \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\), $\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}$를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자

\[\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\]

  • 이로부터 curl, \(\nabla\times\) 는 1-형식을 2-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

\[d_1:F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\]

div

  • 벡터장 $\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)$에 대하여, \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} $$

  • 벡터장 $\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)$를 2-형식 $F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy$로, 스칼라 함수 $\nabla \cdot \mathbf{F}$를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자

$$ \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz $$

  • 미분연산자 div는 2-형식을 -3형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

$$ d_2 : F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy \mapsto \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz $$

성질

  • 임의의 스칼라 함수 $f$와 벡터장 $\mathbf{F}$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ \nabla \times (\nabla f)=0\\ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0 $$

  • 미분연산자를 미분형식에 정의되는 사상으로 이해하면, 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다

$$ d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0 $$  

1-형식의 적분

  • 곡선 $C$의 매개화가 \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b\)로 주어지는 경우
  • 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다

\[\int_{C}\omega=\int_{a}^{b} \left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt\]

  • 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다

\[\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\]

증명

\[\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt=\int_{C}\omega\] ■

 

 

2-형식의 적분

  • 3차원의 매개곡면 $S$, \(\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D\)
  • 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다\[\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\]
  • 곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다\[\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\]
증명

다음을 관찰하자 \[{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\] 다음을 얻는다 \[\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\]. ■


 

응용1. 스토크스 정리

\[\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\]

   

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수학용어번역

  • gradient - 대한수학회 수학용어집

 

 

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