바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

수학노트
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개요

  • 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 로부터 유도됨
  • highest weigh이 \(\lambda\)로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다\[\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\] 여기서 \((\cdot | \cdot)\) 는 \(\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}\)에 정의되는 Killing form, \(\rho\) 는 바일 벡터, \(\alpha>0\)는 positive root 를 뜻함


 

예 \(A_2\)의 fundamental representations

  • \(A_2\)의 root system을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
    • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
    • \(\alpha_3=(1,0,-1)\)
    • \(\rho=(1,0,-1)\)
    • \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
    • \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
  • \(V_{\omega_1}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_1}) = \frac{2\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
  • \(V_{\omega_2}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]

 

증명

  • $A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$로 두자
  • $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다

$$ {\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}) $$

  • 임의의 $\mu\in P$에 대하여, 다음이 성립한다

\begin{equation}\tag{1} A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h^{\vee}+k} \end{equation}

  • ((1))로부터 $\lambda\in P^{+}$에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다

$$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}$$ $$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.$$

$$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.$$

  • $k\to \infty$일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다

$$\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}$$  

역사

 

 


관련된 항목들

   

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