반전 사상(inversion)

개요

• 평면상에 직선이 주어져 있을 때, 평면위의 한 점을 그 직선에 대칭되는 점으로 보낼 수 있음.
• 그에 대응되는 개념으로, 평면상에 원이 하나 주어져 있을때, 점들을 그 원에 대칭인 점들로 보내는 사상을 '반전(inversion)이라 함.
• 두 점 P,P'가 주어진 원에  대해 대칭이라는 조건은 다음과 같이 정의할 수 있음.
  
  • 두 점 P와 P'를 지나는 모든 직선과 원이 주어진 원과 수직으로 만남.
  • 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때
    \[OP\cdot OP'=r^2\]
    
• n차원 공간에서도 정의되며, 등각 사상 (conformal mapping)이다

 

 

리만구면상에서의 반전 사상

• 평면상에서의 반전 사상은 복소 리만 구면 상의 회전변환을 통하여 잘 이해할 수 있음.

 

 

반전 사상과 쌍곡기하학

• 반전을 반복할 때 얻을 수 있는 종류의 그림

• 반전 사상(inversion)은 푸앵카레 unit disk 모델에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상
• 따라서 위의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.
• 2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션 항목 참조

 

n차원 유클리드 공간에서의 반전 사상

• 중심이 $a\in \mathbb{R}^n$이고, 반지름이 $r>0$인 구면 $\{x\in \mathbb{R}^n|x-a|=r\}$에 대하여, $x$의 반전 $x'$은 다음과 같이 주어진다

$$ x'=\frac{r^2(x-a)}{|x-a|^2}+a $$

• 등각 사상 (conformal mapping)에서의 정의를 따르면, conformal factor $\Omega$는 다음과 같이 주어진다

$$ \Omega=\frac{r^2}{(x-a)\cdot (x-a)} $$

2차원에서의 예

• 중심이 $(0,0)$이고, 반지름이 $1$인 원에 대하여, 반전은 다음과 같은 변환이 된다

$$ (x,y)\mapsto (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}) $$

• conformal factor는 $$\Omega=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)}$$가 된다

3차원에서의 예

• 붉은색 점들과 푸른색 점들은 구면에 대하여 서로 반전의 위치에 놓여 있다

 

관련된 대학 수학

• 복소함수론
  • 뫼비우스 변환군과 기하학
• 미분기하학
  • 반전은 비유클리드기하학의 쌍곡기하학에서 등거리사상.

 

관련된 항목들

• 반사 변환

 

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1FBUkt1eTJoMkk/edit

 

 

관련논문

• Circles and Spheres
  
  • G. D. Chakerian, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 11, No. 1 (Jan., 1980), pp. 26-4

 

블로그

• 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion) (피타고라스의 창)
  
• 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번… (피타고라스의 창)