베르누이 수

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• 베르누이 수

 

 

개요

• 베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열2040024
  
  • 리만제타함수와 리만가설
  • 리만제타함수의 -1에서의 값
  • 거듭제곱의 합을 구하는 공식
• 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

\(\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)

• 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
  

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}

 

 

베르누이 수의 성질

• \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
  
  • \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
  • \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
  • \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)

 

 

삼각함수의 급수 표현

• 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
• 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

 

쌍곡함수의 급수표현

\(\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\)

\(\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\)

 

 

로바체프스키함수

• 로바체프스키와 클라우센 함수
  \(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)
  

 

digamma함수

• digamma 함수
  \(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\)
  

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 거듭제곱의 합을 구하는 공식
• 오일러-맥클로린 공식

 

 

 

관련된 항목들

• 오일러수
• 정규소수 (regular prime)
• 정수에서의 리만제타함수의 값

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/

• http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문

• Bernoulli numbers and the unity of mathematics
  
  • B. Mazur
• Stirling's Series and Bernoulli Numbers
  
  • Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
• A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers
  
  • Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138

 

 

 

관련도서 및 추천도서

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관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=베르누이
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