"베르누이 수"의 두 판 사이의 차이

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*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|2040024]]<br>
 
*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|2040024]]<br>
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** [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
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** [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
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** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수|리만제타함수의 -1에서의 값]]
 
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
 
* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
 
:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
 
:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
  
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*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.<br>
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*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
  
 
<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
 
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2013년 6월 19일 (수) 14:24 판

개요

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}

 

 

베르누이 수의 성질

  • \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
    • \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
    • \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
    • \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)

 

 

삼각함수의 급수 표현

  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

 

쌍곡함수의 급수표현

\(\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\)

\(\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\)

 

 

로바체프스키함수

 

digamma함수

  • digamma 함수\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]

 

 

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사전 형태의 자료


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