"베르누이 수"의 두 판 사이의 차이

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*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|2040024]]<br>
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*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
 
** [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 
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** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
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* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
 
* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
 
:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
 
:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
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*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
 
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\begin{array}{c|c}
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<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
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==베르누이 수의 성질==
 
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* <math>B_m=\frac{N_m}{D_m}</math> (여기서 <math>N_m, D_m</math>은 서로소) 으로 쓰면 <math>D_m</math>은 <math>p-1|m</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어짐<br>
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* <math>B_m=\frac{N_m}{D_m}</math> (여기서 <math>N_m, D_m</math>은 서로소) 으로 쓰면 <math>D_m</math>은 <math>p-1|m</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어짐
 
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** <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
 
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** <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
 
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===삼각함수의 급수 표현===
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* 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
 
* 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
 
* 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
 
* 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
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\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\
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\cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
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<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
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===쌍곡함수의 급수표현===
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* 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다
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\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\
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==로바체프스키함수==
 
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math><br>
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math>
  
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==digamma함수==
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==다이감마 함수==
  
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* [[다이감마 함수(digamma function)|digamma 함수]]:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math><br>
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* [[다이감마 함수(digamma function)]]:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math>
  
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
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* [[오일러-맥클로린 공식]]
 
* [[오일러-맥클로린 공식]]
  
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==관련된 대학원 과목==
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcnNqLXZYbmVMSkE/edit
  
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==사전 형태의 자료==
 
  
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==사전 형태의 자료==
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* B. Mazur, [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics]
  
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
  
−
* [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]
−
** B. Mazur
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br>
 
 
** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
 
** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
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* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]
 
** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
 
** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
  

2014년 4월 22일 (화) 08:45 판

개요

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\begin{array}{c|c} n & B_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & 0 \\ 4 & -\frac{1}{30} \\ 5 & 0 \\ 6 & \frac{1}{42} \\ 7 & 0 \\ 8 & -\frac{1}{30} \\ 9 & 0 \\ 10 & \frac{5}{66} \\ 11 & 0 \\ 12 & -\frac{691}{2730} \\ 13 & 0 \\ 14 & \frac{7}{6} \\ 15 & 0 \\ 16 & -\frac{3617}{510} \\ 17 & 0 \\ 18 & \frac{43867}{798} \\ 19 & 0 \\ 20 & -\frac{174611}{330} \end{array}


베르누이 수의 성질

  • \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
    • \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
    • \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
    • \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)


멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

$$ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} $$


쌍곡함수의 급수표현

  • 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

$$ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} $$


로바체프스키함수


다이감마 함수



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

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