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B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} | B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} | ||
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==베르누이 수의 성질== | ==베르누이 수의 성질== | ||
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베르누이 수 <math>B_k=\frac{N_k}{D_k}</math> (여기서 <math>N_k, D_k</math>은 서로소)의 분모 <math>D_k</math>는 <math>p-1|k</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어진다. | 베르누이 수 <math>B_k=\frac{N_k}{D_k}</math> (여기서 <math>N_k, D_k</math>은 서로소)의 분모 <math>D_k</math>는 <math>p-1|k</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어진다. | ||
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* 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음. | * 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음. | ||
* 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문. | * 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문. | ||
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\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ | \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ | ||
\cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} | \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} | ||
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===쌍곡함수의 급수표현=== | ===쌍곡함수의 급수표현=== | ||
* 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다 | * 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다 | ||
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\begin{align} | \begin{align} | ||
\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ | \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ | ||
\coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi | \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi | ||
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==리뷰, 에세이, 강의노트== | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
* B. Mazur, [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics] | * B. Mazur, [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics] | ||
| − | + | * Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860. | |
| + | * Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915 | ||
==관련논문== | ==관련논문== | ||
| + | * Anglès, Bruno, and Floric Tavares Ribeiro. “Exceptional Zeros of <math>L</math>-Series and Bernoulli-Carlitz Numbers.” arXiv:1511.06209 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06209. | ||
* Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858. | * Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858. | ||
* Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123. | * Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123. | ||
* Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612. | * Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612. | ||
* Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929. | * Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929. | ||
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| + | == 메타데이터 == | ||
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| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q694114 Q694114] | ||
2020년 12월 28일 (월) 07:32 판
개요
- 베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
- 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]
테이블
- 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]
베르누이 수의 성질
- 정리 (폰 슈타우트-클라우센)
정수 \(k\in 2\mathbb{Z}_{>0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.\]
- 따름정리
베르누이 수 \(B_k=\frac{N_k}{D_k}\) (여기서 \(N_k, D_k\)은 서로소)의 분모 \(D_k\)는 \(p-1|k\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어진다.
예
- \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
- \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
- \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)
- 폰 슈타우트-클라우센 정리 항목 참조
- 베르누이 수에 대한 쿰머 합동식
멱급수와 베르누이 수
삼각함수의 급수 표현
- 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
- 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
\[ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} \]
쌍곡함수의 급수표현
- 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다
\[ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} \]
로바체프스키함수
- 로바체프스키와 클라우센 함수\[\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\]
다이감마 함수
- 다이감마 함수(digamma function)\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
리뷰, 에세이, 강의노트
- B. Mazur, Bernoulli numbers and the unity of mathematics
- Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860.
- Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915
관련논문
- Anglès, Bruno, and Floric Tavares Ribeiro. “Exceptional Zeros of \(L\)-Series and Bernoulli-Carlitz Numbers.” arXiv:1511.06209 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06209.
- Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858.
- Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123.
- Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612.
- Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q694114