산술기하조화평균과 부등식

수학노트
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개요

 

 

 

두 수의 산술기하조화평균

  • 기하평균 : 직사각형의 두 변이 a, b 일 때 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변
  • 조화평균 : 일정한 거리를 갈 때 a, 올 때 b의 속력으로 왕복할때 평균속도

 

일반적인 정의

  • $x_1,\cdots,x_n$이 양수라 하자
  • 산술평균

\[A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\]

  • 기하평균

\[G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\]

  • 조화평균

\[H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \]

 

산술-기하-조화평균 부등식

  • 다음이 성립한다

\[A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)\]


n=2인 경우

\(A=\frac{a+b}{2}\)

\(G=\sqrt{ab}\)

\(H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

 

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