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'''1. 수열'''<math>\{a_n\}</math>'''이 주어져 있다.''''''<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.''' (유한수열이면 다항식)
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'''1. 수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어져 있다.<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''
  
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<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>
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'''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>'''
  
 
'''3. 함수를 구한다.'''
 
'''3. 함수를 구한다.'''
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">지수생성함수</h5>
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<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
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* [[베르누이 수]]의 생성함수<br><math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math><br>
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* 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
 
* 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
 
*  가령 [[자코비의 네 제곱수 정리]]의 경우<br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br>
 
*  가령 [[자코비의 네 제곱수 정리]]의 경우<br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br>
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<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
 
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* [[베르누이 수]]의 생성함수<br><math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math><br>
 
  
 
 
 
 

2009년 12월 22일 (화) 08:56 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 생성함수(generating function)의 정보를 담는 멱급수를 생성함수로 부른다
  • 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음

 

 

생성함수

1. 수열 \(\{a_n\}\)이 주어져 있다.
2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)

\(G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)

3. 함수를 구한다.

 

 

 

지수생성함수

\(EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}\)

  • 베르누이 수의 생성함수
    \(\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)

 

 

 

 

 

분할수의 생성함수
  • 분할수의 경우
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
  • 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

 

 

자코비 세타함수의 경우
  • 자코비 세타함수
    \(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\)
  • 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
  • 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우
    \(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)

 

 

 

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