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<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
 
<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
  
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* [[베르누이 수]]의 생성함수<br><math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math><br>
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* [[베르누이 수]]의 생성함수<br><math>\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{t}}{e^t-1}</math><br>
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* [[derangement]]의 생성함수<br>
  
 
 
 
 

2009년 12월 24일 (목) 08:03 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 생성함수(generating function)의 정보를 담는 멱급수를 생성함수로 부른다
  • 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음

 

 

생성함수
  • 수열 \(\{a_n\}\)이 주어져 있다.
  • 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)
    '''''''\(G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)'''''''
  • ''''함수를 구한다.''''

 

 

지수생성함수

\(EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}\)

 

 

분할수의 생성함수
  • 분할수의 경우
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
  • 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

 

 

자코비 세타함수의 경우
  • 자코비 세타함수
    \(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\)
  • 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
  • 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우
    \(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)

 

 

 

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