"생성함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1}” 문자열을 “\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1}” 문자) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 하나는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==개요== | ==개요== | ||
| 17번째 줄: | 9번째 줄: | ||
* 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구 | * 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구 | ||
| − | |||
| − | |||
==생성함수== | ==생성함수== | ||
| − | * | + | * 수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식) |
| − | + | :<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math> | |
| − | * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math | + | * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math> |
* 분할수를 [[데데킨트 에타함수]]의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다 | * 분할수를 [[데데킨트 에타함수]]의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다 | ||
| − | |||
| − | |||
==지수생성함수== | ==지수생성함수== | ||
| − | * | + | * 수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다 |
| − | + | :<math>EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n</math> | |
| − | * [[베르누이 수]]의 생성함수:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac | + | * [[베르누이 수]]의 생성함수:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t}{e^t-1}</math> |
| − | * [[derangement]]의 생성함수:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}</math | + | * [[derangement]]의 생성함수:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
==디리클레급수== | ==디리클레급수== | ||
| − | * 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 | + | * 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의:<math>L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math> |
* [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]] 항목 참조 | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]] 항목 참조 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==자코비 세타함수의 경우== | ==자코비 세타함수의 경우== | ||
| − | * [[자코비 세타함수]]:<math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}</math | + | * [[자코비 세타함수]]:<math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}</math> |
* 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다 | * 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다 | ||
| − | * | + | * 가령 [[자코비의 네 제곱수 정리]]의 경우:<math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
==확률론과 생성함수== | ==확률론과 생성함수== | ||
| 68번째 줄: | 56번째 줄: | ||
* characteristic function | * characteristic function | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들== | ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들== | ||
* [[수열]] (고등학교) | * [[수열]] (고등학교) | ||
| − | * [[일변수미적분학]] | + | * [[일변수미적분학]] |
** 멱급수함수 | ** 멱급수함수 | ||
| − | * [[이산수학]] | + | * [[이산수학]] |
** difference equation | ** difference equation | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| 91번째 줄: | 79번째 줄: | ||
* [[피보나치 수열의 여러가지 성질]] | * [[피보나치 수열의 여러가지 성질]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | == | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxX0xHTFY0R193cFk/edit |
| − | + | ||
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * | + | * Sergei K. Lando, Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23) |
| − | * | + | * Herbert S. Wilf, [http://www.amazon.com/Generatingfunctionology-Herbert-S-Wilf/dp/0127519564 generatingfunctionology], [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/DownldGF.html PDF 파일] |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Aron Pinker, [http://www.jstor.org/stable/3027258 An Interesting Use of Generating Functions], <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==블로그== | |
| − | |||
| − | |||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)], 피타고라스의 창, 2008-9-30 | ||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수], 피타고라스의 창, 2008-7-26 | ||
| + | [[분류:수열]] | ||
[[분류:조합수학]] | [[분류:조합수학]] | ||
2014년 7월 12일 (토) 01:41 판
개요
- 생성함수(generating function)
- 수열\(\{a_n\}\)에 대한 정보를 담는 멱급수
- 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
- 해석적정수론의 중요한 아이디어
- 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
- L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
- 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구
생성함수
- 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)
\[G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\]
- 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]
- 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다
지수생성함수
- 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다
\[EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n\]
- 베르누이 수의 생성함수\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t}{e^t-1}\]
- derangement의 생성함수\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\]
디리클레급수
- 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의\[L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]
- L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목 참조
자코비 세타함수의 경우
- 자코비 세타함수\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\]
- 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
- 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우\[\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\]
확률론과 생성함수
- probability generating function
- moment generating function
- characteristic function
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련도서
- Sergei K. Lando, Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
- Herbert S. Wilf, generatingfunctionology, PDF 파일
리뷰, 에세이, 강의노트
- Aron Pinker, An Interesting Use of Generating Functions, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45
블로그
- 고교 수학의 명장면 (2), 피타고라스의 창, 2008-9-30
- derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수, 피타고라스의 창, 2008-7-26