"순환소수와 이차 수체의 유수"의 두 판 사이의 차이
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* <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>인 경우에 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 class number 를 구하는 정리 | * <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>인 경우에 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 class number 를 구하는 정리 | ||
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[[디리클레 L-함수]] 에 있는 다음 결과를 이용한다. | [[디리클레 L-함수]] 에 있는 다음 결과를 이용한다. | ||
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| − | * 23의 경우:<math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math>:<math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math> | + | * 23의 경우:<math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math>:<math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math> |
| + | * [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>의 class number는 3이다. | ||
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* [[cyclic numbers]] | * [[cyclic numbers]] | ||
| − | * 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수 | + | * 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수 |
| − | ** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10] 참조 | + | ** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10] 참조 |
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, | + | * '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001 |
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2014년 7월 12일 (토) 22:11 기준 최신판
개요
- 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\) 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] 의 경우
\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)
\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)
\(10g_{k-1}=7 y_k+g_k\)
여기서
\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\) 가 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number이다.
- \(p \equiv 3 \pmod{4}\)인 경우에 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 를 구하는 정리
순환소수 전개를 통한 class number의 계산
- 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이 군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
- 예 p=7, p=23
- 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 유수 h를 계산할 수 있다
\[\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\] \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\]
- 증명
- [Girstmair94] 참조
디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다. \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\]
\({g_k}\)를 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 정의하자.
10이 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\]
한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,
\(10g_{k-1}=p y_k+g_k\) 즉, 다음이 성립한다 \[y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\] (\(k=1,\cdots, p-1\))
다시 증명으로 돌아가자. \[11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\] 따라서 \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\] ■
p=7인 경우의 예
- 7의 경우
\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] \[\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\]
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
p=23의 경우
- 23의 경우\[\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\]\[\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\]
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.
cyclic numbers
- cyclic numbers
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
역사
관련된 항목들
관련논문
- [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001