슈르 다항식(Schur polynomial)

수학노트
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개요


정의

  • 변수의 개수 $n$과 $d$의 (0을 허용하며, 크기가 $n$인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 $d$차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
    • 분할 $\lambda$의 크기가 $n$보다 큰 경우, $s_{\lambda}=0$
  • 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • $d$의 (크기가 $n$인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
  • 다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\tag{1}\]

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}




영 태블로

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 $T$는 $\lambda$ 형태의 준표준 영 태블로

  • 예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$

$$ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, $$

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

정리 (자코비-트루디)

\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

  • 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]


코쉬 항등식

  • 다음이 성립한다

$$ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) $$

1변수의 예

  • 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 $(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$꼴로 주어진다
  • 슈르다항식은 $s_{(n)}(x_1)=x_1^n$
  • 따라서

$$ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} $$

2변수의 예

$$ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} $$


리틀우드 항등식

  • 다음이 성립한다

$$ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} $$

정리 (맥도날드)

임의의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} $$

역사



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  • I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf

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