"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이
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* <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환 | * <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환 | ||
* <math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math><br><math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br> | * <math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math><br><math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br> | ||
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* <math>ax^2+bx+c=0</math>가 두 실근u,v를 가질때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)</math>로 치환<br> | * <math>ax^2+bx+c=0</math>가 두 실근u,v를 가질때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)</math>로 치환<br> | ||
| − | + | * <math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math><br><math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br> | |
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2010년 2월 9일 (화) 19:33 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
\(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음 - \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환
- \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\) 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
- \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다.
- \(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point \((x_0,y_0)\)
제1오일러치환
- \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
- \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
\(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
\(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)
제2오일러치환
- \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
- \(\int x^2\sqrt{1-x^2}\,dx\)의 예
\(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
\(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
제3오일러치환
- \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
- \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
\(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
\(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)
\(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)
http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm
http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
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