"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이

2010년 2월 10일 (수) 19:29 판

\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
\(y^2=ax^2+bx+c\)를 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다

\(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
예
\(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
\(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
\(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

\(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
예
\(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
\(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
\(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
\(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

\(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
예
\(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
\(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
\(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d})\) 의 부정적분
\(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\)
단, \(ax^3+bx^2+cx+d\)는 서로 다른 해를 가짐
곡선\(ax^3+bx^2+cx+d\)

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 * <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 부정적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 <math>x=x(t)</math> 치환<br>
+* <math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다<br>
-* <math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 <math>t</math>에 대한 유리함수로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다<br>
+* [[삼각치환]]이 잘 작동하는 이유를 설명해준다<br>
-* [[삼각치환]] 항목도 더불어 참조<br>
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 * <math>ax^2+bx+c=0</math>가 두 실근u,v를 가질때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)</math>로 치환<br>
+*  예<br><math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math><br><math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math><br><math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">타원적분</h5>
-* <math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>의 예<br><math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math><br><math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br>
+*  유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d})</math> 의 부정적분<br><math>\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx</math><br> 단, <math>ax^3+bx^2+cx+d</math>는 서로 다른 해를 가짐<br>
+*  곡선<math>ax^3+bx^2+cx+d</math><br>